如今，俄罗斯有个城市叫加里宁格勒，位于波兰和立陶宛之间，普雷戈利亚河流经这座城市并汇入波罗的海。

在18世纪，这座城市在数学史上非常有名，当年它还不叫加里宁格勒，而是叫作哥尼斯堡，是普鲁士的首府。

在哥尼斯堡市区，普雷戈利亚河上有7座桥把河中心小岛和河岸连接起来。

当时有人提出了一个问题:一个步行者怎样才能不重复、不遗漏地一次走完七座桥？

问题看着不难，但是人们在解题的时候，发现无论怎么尝试都无法找到答案，每次最多只能通过6座桥：

后来，大数学家欧拉对这个问题进行了研究，并证明了七桥问题是没有解的。

欧拉当年画的手绘图

下面让我们一起来看看欧拉的大致推理过程:

①将七桥问题转换为数学模型。

图上“1”、“2”、“3”、“4”这些节点代表陆地，节点之间的连线代表过桥的路线。

将模型进一步简化

②为什么七桥问题无解？

A、无论一个顶点有多少条边，当我们行走的路线在通过一个顶点时，都会使用它的两条边，一条在到达顶点之前使用，一条在离开顶点时使用。

例:“1”-“2”-“4”的线路，在通过顶点“2”时，就会使用上两条边，其中一条边是从顶点“1”到达顶点“2”的边，另外一条边是离开顶点“2”，前往顶点“4”的边。

B、当一个顶点有奇数条边时，则它必须是线路中的起点或终点。

例:“1”-“2”-“1”-“4”线路，顶点“1”有3条边，它是线路的起点。

例:“1”-“2”-“4”-“1”-“2”-“3”-“4”线路，顶点“1”有3条边，是线路的起点，顶点“4”也有3条边，是线路的终点。

C、“七桥问题”模型图有4个顶点，且个顶点都有奇数条边，而每条路径只能有一个起点和一个终点，所以一条路径不可能从4个不同的地方开始和结束。这也意味着，哥尼斯堡的7座桥不可能一次性通过。

③将七桥问题进行推广

下面我们随意建立一个模型，请问该模型是否有解，为什么？

答案是没有解，因为只有当拥有奇数条边的顶点数量小于或者等于2个时才会有解，而图中有8个粉红色顶点有奇数条边，所以无解。

8个顶点有奇数条边，所以没有解

如果我们去掉几条边，将拥有奇数条边的顶点数量控制在2个以内，就会有解，比如下面这个模型。

图中拥有奇数条边的顶点数量为2，其中一个顶点作为线路起点，一个作为线路终点就会有解

上面这个模型，大家可以尝试着找到答案。

好了，这一讲就到这里了。

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